Journal of Applied Mechanics Localized deformation in plastic liquids on  elastomers    Morelle, Xavier P.  School of Engineering and Applied Sciences, Kavli Institute for Bionano Science and  Technology, Harvard University.  29, Oxford Street, Cambridge, MA 02138, USA.  morelle.xavier@gmail.com    Bai, Ruobing  School of Engineering and Applied Sciences, Kavli Institute for Bionano Science and  Technology, Harvard University.  29, Oxford Street, Cambridge, MA 02138, USA.  ruobing1220@gmail.com    Suo, Zhigang1  School of Engineering and Applied Sciences, Kavli Institute for Bionano Science and  Technology, Harvard University.  29, Oxford Street, Cambridge, MA 02138, USA.  suo@seas.harvard.edu  ASME Fellow    ABSTRACT    A plastic liquid such as toothpaste and butter deforms like an elastic solid under a small stress, and like a  plastic solid under a large stress.  Recently, plastic liquids have been used as compliant electrodes for  elastomeric transducers.  Here we study the deformation of a plastic liquid adherent on an elastomer  when the elastomer is stretched monotonically.  We observe that deformation in the plastic liquid localized  into shear bands and necks.  We further observe that the plastic liquid slips near the interface between the  plastic liquid and the elastomer.  Each pulling edge of the plastic liquid develops a shear tail, a thin layer of  the plastic liquid adherent to the elastomer.  As the elastomer is stretched, the tail conforms to the  deformation of the elastomer, and the plastic liquid above the tail slips. Finite element simulations confirm  that localization occurs even for a relatively simple elastic‐plastic model, but require a boundary condition  that allows the near‐interface slip.  1 Corresponding author. 1 Journal of Applied Mechanics INTRODUCTION    Plastic liquids are all around us, from consumer products such as toothpaste,  butter and ketchup, to industrial products such as lubricants and conductive grease  (Fig.1).  These materials, also known as viscoplastic fluids, soft jammed solids, and yield  stress liquids, are commonly made of concentrated emulsions, colloidal suspensions,  physically crosslinked gels, granular pastes, and foams [1‐4]. Their rheological behaviour  has long been studied using shear rheometers [5‐7] and extrusion channels [3, 8, 9].   These experimental setups closely resemble traditional applications of plastic fluids.   The growing interest in stretchable electronics, biomedical engineering and soft  lithography has motivated new applications of plastic liquids. In particular, electrically  conductive plastic liquids such as carbon grease have been used as compliant  electrodes.  Applications include electromechanical actuators [10, 11], electrical energy  generators [12, 13], and extension sensors [14]. In such an application, thin layers of  carbon grease are spread over the surfaces of a sheet of elastomer.  The plastic liquid  fulfils the basic rheological requirements of the application.  When the elastomer is  stationary, the plastic liquid also remains stationary, and does not flow and drip under  gravity or small disturbance.  When the elastomer undergoes large and repeated elastic  deformation, the plastic liquid conforms, and undergoes viscoplastic deformation.  It has been discovered recently that a plastic liquid develops a wavy pattern  when the underlying elastomer is stretched cyclically [15]. The surface of the plastic  liquid is initially flat.  As the elastomer is stretched and released cyclically, a wavy  pattern emerges on the surface of the plastic liquid.  The wavelength remains  2 Journal of Applied Mechanics unchanged, but the amplitude of the wave increases cycle by cycle, and then saturates  after some number of cycles.      Here we report further experiments to show that the deformation in the  plastic liquid can localize even when the underlying elastomer is stretched  monotonically. When the stretch of the elastomer is small, the deformation in the  plastic liquid is homogeneous.  When the stretch of the elastomer is large, the plastic  liquid forms many shear bands or a single neck.  Furthermore, the pulling edges of the  plastic liquid develop shear tails, corresponding to large slips in the plastic liquid,  parallel to and near the interface between the plastic liquid and elastomer. We conduct  a finite element simulation to understand these experimental findings. We find that the  near‐interface slip is essential for localized deformation to occur in the plastic liquid on  the elastomer. Without the slip, the deformation in the plastic liquid will not localize  even when the elastomer is under a very large stretch. With the slip, the deformation in  the plastic liquid will localize when the elastomer is under a similar stretch as observed  in experiments.  EXPERIMENTAL SETUP    Following [15], we use lithium grease (AGS Company, Catalog No. WL‐15, Lith‐ Ease White) as the plastic liquid, and an acrylic elastomer (3M VHB 4910) as the  substrate. We have observed similar phenomena using other plastic liquids (carbon  grease, toothpaste, butter, etc.). The choice of lithium grease over other plastic liquids  comes from the following facts. (i) The solvent of the lithium grease is silicone oil, which  evaporates negligibly at room temperature. (ii) The lithium grease has finer particles  3 Journal of Applied Mechanics than the carbon grease does, and is more uniform.  (iii) The yield stress of lithium crease  is high enough for the material to retain its shape under gravity, allowing us to use a  vertical experimental setup.  The choice of VHB over other elastomers comes from the  following facts.  (i) The VHB is highly stretchable, readily beyond ten times its original  length.  (ii) The elastic modulus of the VHB is small enough to be stretched even by  hands, and is much larger than the elastic modulus of the lithium grease.  (iii) The  adhesion between the VHB and lithium crease is strong enough to avoid debonding.     The lithium grease consists of an un‐crosslinked or partially‐crosslinked  polymer network, fine particles (e.g. lithium‐containing compound, calcium carbonate  and titanium dioxide), and silicone oil (Fig. 2a)  [7, 16].  The stress‐strain curve of the  grease is close to that of an ideal elastic‐plastic solid with some hardening [15] (Fig. 2b).  A small rate‐dependency is observed when the applied shear rate is varied over two  orders of magnitude.  We will not study the rate effect in the present study, and will  keep a constant loading rate of ~0.2 s‐1 in our experiments.  Care was taken to deposit flat layers of lithium grease on the surface of the VHB  elastomer. To obtain a layer of the grease of a certain thickness, acrylic sheets of the  corresponding thickness were placed on the surface of the elastomer as spacers. An  excessive amount of the grease was first roughly placed in between those spacers on  the elastomer. A razor blade was used to slide over the spacers to remove the excess of  the grease. The low adhesion between the grease and the razor blade ensures flat  surfaces. The layer of the grease so obtained had a root mean square roughness around  5 µm [15].  After the spacers were removed, the razor blade was used to cut the grease  4 Journal of Applied Mechanics into rectangular shape with straight edges. We made layers of the grease of thickness H  ranging from 1 to 6.5 mm, and width W ranging from 5 to 30 mm. The thickness of the  elastomer was 1 mm, and its width and length were always larger than those of the  grease layer.    The elastomer was then stretched up to four times its initial length, in a  universal testing machine (Instron 5966) with a 50N load cell. The deformation of the  grease was videotaped with both front and lateral views (Fig. 3).  EXPERIMENTAL OBSERVATIONS    The shear modulus of the VHB elastomer (~600 kPa) [17] is much higher than  that of the lithium grease (~16.6 kPa) [15].  When the stretch of the elastomer is small,  the grease deforms nearly homogeneously, and conforms to the deformation of the  elastomer. When the stretch of the elastomer is large, the deformation of the grease  becomes inhomogeneous (Fig. 4). For a specimen of a large initial width‐to‐thickness  ratio, numerous shear bands form.  For a specimen of a small initial width‐to‐thickness  ratio, a single neck forms.  We have kept L >> H, such that the variation of the length of  the grease does not appreciably affect localization.  As noted above, for a specimen of a large width‐to‐thickness ratio, numerous  shear bands form in the grease as the elastomer is stretched (Fig. 5).  The first shear  bands initiate from imperfections on the side edges or the top surface of the grease (Fig.  5b). After initiation, each shear band is thin, and runs across the width of the grease at  an angle close to 45° (Fig. 5c). As the elastomer is stretched further, more shear bands  form, soon covering the grease, with nearly even spacing. As the elastomer is stretched  5 Journal of Applied Mechanics even further, the shear bands rotate to accommodate the reduction in the width due to  Poisson’s effect (Fig. 5d). The initial shear bands are thin and shallow (~a few tens of  microns), but grow wide and deep (~hundreds of microns).  The side edges become  more and more uneven (Fig. 5e).  At the initiation stage, the distance between the first shear bands is of the order  of millimetres, comparable to the initial thickness of the layer H. When the layer reaches  the later stage with evenly distributed shear bands, the distance between shear bands  decreases to hundreds of microns (Fig. 6). It can thus be stated that the larger the  applied stretch, the more the distance between shear bands is reduced, confirming an  earlier observation in [15].  For a specimen of a small width‐to‐thickness ratio, shear bands still form, but the  localization is much more strongly marked with a neck in the centre of the specimen  (Fig. 7). The deformation is almost solely concentrated in the neck, and shows much  deeper grooves (> 1 mm). As the neck extends to form a significantly thinner band at  larger stretch, some secondary necks form (Fig. 7c). Meanwhile, thin shear bands can  still coexist with the main neck. However, bifurcation concentrates on a single localized  region instead of being evenly distributed over the specimen.    In both cases, the shear bands and necks persist upon unloading, and  form irregular surface patterns. No significant difference was observed in terms of the  critical stretch for the onset of localization (λc=1.71±0.39) between the two types of  localization. For layers of intermediate width‐to‐thickness ratios, it was observed that  the two types of localization modes gave some mixed behavior (Fig. 4).  6 Journal of Applied Mechanics In all experiments that we have performed, each pulling edge of the grease  develops a shear tail (Fig. 8). The tail is a thin layer of grease, about 100‐  m thick,  adherent to the elastomer. As the elastomer is stretched, the tail also deforms,  conforming to the deformation of the elastomer.  A block of the grease above the tail  slips relative to the tail, deforming only slightly.  The middle portion of the grease, away  from the two pulling edges, deforms substantially.  Consequently, the grease deforms  into a shape of a dumbbell (e.g., Fig. 7c).      The formation of the shear tails highlights shear localization in the  grease.   The thickness of the shear tail is much smaller than the initial thickness H of the  grease, so that the thickness of the slipping block is approximately H.  Denote the shear  stress required for slip by 0 , and the length of a slipping block by B.  The bottom  surface of the slipping block is subject to the shear stress 0 , and the top surface of the  slipping block is traction‐free.  One end of the slipping block is the edge of the grease,  and is traction‐free.  The other end of the block is connected to the middle portion of  the grease, and is subject to the stress at the level of the yield stress  Y .  Balance the  forces acting on the slipping block, and we obtain that 0B   Y H .  In the case of Fig. 7,  for example, H = 6.5 mm, and we take the length of slipping block to be B    20 mm, so  that  0  0.3 Y .          7 Journal of Applied Mechanics NUMERICAL SIMULATIONS    To understand the experimental findings, we conduct finite element simulations  using the commercial software Abaqus 6.12/standard. The observed localization in the  grease is three‐dimensional, and the rheology of the grease is not fully characterized.   The detailed numerical simulation is beyond the scope of this paper.  Instead, we will  use an idealized model to identify basic ingredients that trigger localization.    Specifically, we simulate the plane strain deformation of a time‐ independent, isotropic‐hardening, elastic‐plastic material. Since the elastomer is far  stiffer than the grease, we only simulate the grease, and represent the elastomer by  boundary conditions on the bottom boundary of the grease. Recalling that the  experimentally observed distance between shear bands at initiation is comparable to  the thickness H of the undeformed grease, we represented the undeformed layer by a  rectangle of width 2H and height H in the simulation. To represent an initial  imperfection on the top surface of the grease, we perturb the top edge of the rectangle  into a sinusoidal shape, with wavelength l = 2H and a small amplitude A = 0.001H.  Similar approaches have been used to trigger surface instability in other works of the  literature [15, 18]. Because of symmetry, we only simulate the right half of the rectangle  (Fig. 9a). The left boundary of the mesh corresponds to a line of symmetry, and the right  boundary is subject to a displacement u = uo, so that the applied strain is    1  u0 /H .     On the bottom boundary of the rectangle, we prescribe zero vertical  displacement.  This boundary condition comes from the experimental observation that  8 Journal of Applied Mechanics the grease/elastomer interface remains flat. In the horizontal direction, we consider  three possibilities: no slip, free slip, and frictional slip. In the case of no slip, we prescribe  a linearly distributed horizontal displacement, u = uox/H on the bottom boundary (Fig.  9b). In the case of free slip, we prescribed no horizontal constraints on the bottom  boundary (Fig. 9c). In the case of frictional slip, we prescribed a constant distributed  shear stress, 0  0.3Y , where  Y  is the yield strength of the material (Fig. 9d). This  boundary condition is close to our estimate above of the shear stress required for  slipping.    Experimentally measured stress–strain curves indicate that the grease  exhibits some strain‐hardening, and that the stress‐strain curves are rate‐dependent  (Fig. 2b). The shape of the stress‐strain curves motivates us to simulate the plastic liquid  using a power‐law isotropic‐hardening, elastic–plastic model. Moreover, since all the  experiments were conducted under the same strain rate, we applied a time‐ independent model to simplify the problem. These assumptions are typically used to  simulate metals [19, 20], and have also been used recently in the case of plastic liquids  [15, 21]. The model assumes that the material is incompressible in the plastic regime,  but allows compressibility in the elastic regime. We assume yield stress Y  330Pa ,  Young’s modulus E = 50 kPa, and Poisson’s ratio ν = 0.4. In the plastic regime, the plastic  liquid follows the power law   K n  subjected to uniaxial tensile loading. Here, we  considered the case of n = 0.02, accounting for moderate strain hardening. Comparing  9 Journal of Applied Mechanics the power law with the yield condition   Y  at   Y / E , we obtained the hardening  coefficient  K   E1n n Y  365 Pa .    We first consider the case of no slip. Despite the initial perturbation of  the top layer, no strong localization occurs even up to very large stretch λ = 2.5 (Fig. 9b).  This result is consistent with that of a previous simulation [22]. Consider two materials,  A and B, where A suffers localized deformation by itself, but B does not.  If a thin layer of  A is bonded to B, and B is sufficiently strong, B will constrain A and also prevent  localization in A.    This discrepancy between this theoretical conclusion and our  experimental observations is discussed as follows. The observed “shear tail” clearly  indicates an inhomogeneous shear strain distribution through the thickness of the  grease. Similar observations have been reported in experiments of a plastic liquid  flowing in an inclined channel [5, 23]. As a consequence, the bulk part of the grease  shows clear signs of sliding, while a thin boundary layer of the grease remains well  bonded to the elastomer. From experimental observations, the thickness of the  boundary layer (~100µm) is much smaller than the overall thickness of the layer (1‐6  mm). The no‐slip model fails to simulate the high shear localization between the  boundary layer and the bulk layer.     Following the above discussion, we performed a second model by  studying the other extreme scenario, i.e., the block of grease can slip freely. The  corresponding results show the initiation of localization at a stretch of λ = 1.6 (Fig. 9c).   The free slip condition is equivalent to applying tensile force to a free‐standing layer.   10 Journal of Applied Mechanics Strain‐hardening elastic‐plastic materials are known to form necks.  Such a behavior is  common for ductile metals.      Our experiments have shown that, at each pulling edge, a block of grease  of a finite length slips relative to a thin layer of grease adherent to the elastomer.  As  noted above, this observation suggests that the slip requires a finite shear stress.  We  implemented a third scenario with the intermediate case, i.e. frictional slip. The effect of  the boundary layer was accounted for by a constant shearing stress at the bottom, with  a representative magnitude 0  0.3Y . The output shows a strong single neck  localization around the initial defect at a stretch of λ = 1.6 (Fig. 9d).   CONCLUSION  We report experimental findings of localized deformation of a plastic liquid  adherent on an elastomer.  When the elastomer is stretched monotonically, the plastic  liquid develops shear bands and necks.  Each pulling edge of the plastic liquid develops a  shear tail.  The tail is a thin layer of plastic liquid adherent to the elastomer, and the  block of the plastic liquid above the tail slips.  Finite element simulations confirm that  localization can be predicted through the use of a relatively simple elastic‐plastic model  but requires a careful definition of the applied boundary conditions. Further study is  needed to account for the full spectrum of deformation of plastic liquids on elastomers,  for instance, to formulate a material model that can predict the formation and thickness  of shear tails.      11 Journal of Applied Mechanics ACKNOWLEDGMENT    This work was supported by MRSEC (DMR‐14‐20570), as well as through the Cabeaux‐ Jacobs B.A.E.F. post‐doctoral fellowship of X. P. Morelle as a visiting scholar for one year  at Harvard University.   12 Journal of Applied Mechanics   REFERENCES    1. Bingham, E.C., An investigation of the laws of plastic flow. U.S. National Bureau of Standards, 1916. 13(Scientific Paper 278): p. 309‐353. 2. Larson, R.G., The Structure and Rheology of Complex Fluids. 1999: Oxford Univ. Press, Oxford and New York. 801‐802. 3. Barnes, H.A., The yield stress—a review or ‘παντα ρει’—everything flows? Journal of Non‐Newtonian Fluid Mechanics, 1999. 81(1): p. 133‐178. 4. Balmforth, N.J., I.A. Frigaard, and G. Ovarlez, Yielding to stress: recent developments in viscoplastic fluid mechanics. Annual Review of Fluid Mechanics, 2014. 46: p. 121‐146. 5. Ovarlez, G., et al., Phenomenology and physical origin of shear localization and shear banding in complex fluids. Rheologica acta, 2009. 48(8): p. 831‐844. 6. Olmsted, P.D., Perspectives on shear banding in complex fluids. Rheologica Acta, 2008. 47(3): p. 283‐300. 7. Radulescu, A. and I. Radulescu, Rheological models for lithium and calcium greases. Mechanika, 2006. 59(3): p. 67‐70. 8. Coussot, P., Yield stress fluid flows: A review of experimental data. Journal of Non‐Newtonian Fluid Mechanics, 2014. 211: p. 31‐49. 9. German, G. and V. Bertola, Formation of viscoplastic drops by capillary breakup. Physics of Fluids, 2010. 22(3): p. 033101. 10. Pelrine, R., et al., High‐speed electrically actuated elastomers with strain greater than 100%. Science, 2000. 287(5454): p. 836‐839. 11. Keplinger, C., et al., Stretchable, transparent, ionic conductors. Science, 2013. 341(6149): p. 984‐987. 12. Pelrine, R., et al. Dielectric elastomers: generator mode fundamentals and applications. in SPIE's 8th Annual International Symposium on Smart Structures and Materials. 2001. International Society for Optics and Photonics. 13. Koh, S.J.A., X. Zhao, and Z. Suo, Maximal energy that can be converted by a dielectric elastomer generator. Applied Physics Letters, 2009. 94(26): p. 262902. 14. O'Brien, B., et al. Integrated extension sensor based on resistance and voltage measurement for a dielectric elastomer. in The 14th International Symposium on: Smart Structures and Materials & Nondestructive Evaluation and Health Monitoring. 2007. International Society for Optics and Photonics. 15. Huang, J., et al., Pattern formation in plastic liquid films on elastomers by ratcheting. Soft matter, 2016. 12(16): p. 3820‐3827. 16. AGS‐Company. Safety data sheet of Lith‐Ease White Lithium Grease‐ WL‐14, WL‐15. 2016 21‐Jan‐2016 [cited 2016; Available from: http://agscompany.com/images/stories/MSDS/English/White‐Lithium‐ Lith‐Ease‐Grease_WL‐14‐15_English.pdf. 17. 3M. VHB™ Tape Specialty Tapes ‐ Technical data. 2015 November 2015 [cited 2016; Available from: 13 Journal of Applied Mechanics http://multimedia.3m.com/mws/media/1235574O/specialty‐tapes‐vhb‐ technical‐data‐sheet.pdf. 18. Wong, W., et al., Surface instability maps for soft materials. Soft Matter, 2010. 6(22): p. 5743‐5750. 19. Li, T., et al., Stretchability of thin metal films on elastomer substrates. Applied Physics Letters, 2004. 85(16): p. 3435‐3437. 20. Lu, N., Z. Suo, and J.J. Vlassak, The effect of film thickness on the failure strain of polymer‐supported metal films. Acta Materialia, 2010. 58(5): p. 1679‐1687. 21. Jørgensen, L., et al., Yield stress and elasticity influence on surface tension measurements. Soft Matter, 2015. 11(25): p. 5111‐5121. 22. Li, T., et al., Delocalizing strain in a thin metal film on a polymer substrate. Mechanics of Materials, 2005. 37(2): p. 261‐273. 23. Coussot, P., et al., Coexistence of liquid and solid phases in flowing soft‐glassy materials. Physical review letters, 2002. 88(21): p. 218301.   14 Journal of Applied Mechanics       Fig. 1  Fig. 2  Fig. 3  Fig. 4  Fig. 5  Fig. 6  Figure Captions List  a) A plastic liquid deforms like an elastic solid of Young’s modulus E when  the  stress  is  small,  and  like  a  plastic  solid  when  the  stress  is  above  the  yield  stress  σy.  Some  strain  hardening  can  be  observed.    b)  Examples  of  applications of plastic liquids.  a)  Microstructure  of  the  lithium  grease;  b)  stress‐strain  curves  of  the  lithium crease loaded at several strain rates [15].  Experimental setup. A schematic (a) and a photo (b) of a layer of lithium  crease  on  a  sheet  of  VHB  elastomer.    When  the  elastomer  is  stretched,  the deformation in the grease is recorded by the cameras from the front  and the side.  When W/H is large, numerous shear bands form.  When W/H is small, a  single neck forms.    The  formation  of  shear  bands  in  a  slender  plastic  liquid  (W/H  ≥  5).  The  initial dimensions of the plastic liquid are H = 3 mm, W = 22.75 mm, and L  = 32.7 mm.  Zoom‐in  on  the  surface  morphology  of  the  shear  bands  in  an  optical  microscope. The initial dimensions of the lithium grease layer are H = 6.5  mm, W = 31.2 mm and L = 23 mm.  15 Journal of Applied Mechanics Fig. 7  The  formation  of  neck  in  a  plastic  liquid  layer  (W/H  ≤  5).  The  initial  dimensions of the lithium grease layer are H = 6.5 mm, W = 18.8 mm and  L = 33 mm.  Fig. 8  The  formation  of  shear  tails.    At  each  pulling  edge  of  the  grease,  a  thin  layer  of  the  grease  remains  adherent  to  the  elastomer.    Relative  to  the  thin layer, a block of the grease slips. (a) A thin specimen (H = 3 mm, W =  22.75  mm,  L  =  32.7  mm).    (b)  A  thick  specimen  (H  =  6.5  mm,  W  =  18.8  mm,  L  =  33  mm).  The  side  view  also  shows  that  the  grease/elastomer  interface remains flat.    Fig. 9      The  effect  of  boundary  conditions  on  localization.  (a)  In  the  reference  state,  the  grease  is  represented  by  a  rectangle,  with  top  surface  perturbed  into  a  sinusoidal  shape.  (b)  Under  the  no  slip  condition,  the  deformation  does  not  localize  even  at  λ  =  2.5.  (c)  Under  the  free  slip  condition,  deformation  localizes  at  λ  =  1.6.  (d)  Under  the  frictional  slip  condition, deformation also localizes at λ = 1.6.       16 Journal of Applied Mechanics (a)      (b)  Fig.  1:  a)  A  plastic  liquid  deforms  like  an  elastic  solid  of  Young’s  modulus  E  when  the  stress is small, and like a plastic solid when the stress is above the yield stress σy. Some  strain hardening can be observed.  b) Examples of applications of plastic liquids.  17 Journal of Applied Mechanics (a)    (b)  Fig.  2:  a)  Microstructure  of  the  lithium  grease;  b)  stress‐strain  curves  of  the  lithium  crease loaded at several strain rates  [15].  18 Journal of Applied Mechanics  (a)            (b)  Fig. 3. Experimental setup. A schematic (a) and a photo (b) of a layer of lithium crease on  a  sheet  of  VHB  elastomer.    When  the  elastomer  is  stretched,  the  deformation  in  the  grease is recorded by the cameras from the front and the side.   19 Journal of Applied Mechanics Fig.  4:  When  W/H  is  large,  numerous  shear  bands  form.    When  W/H  is  small,  a  single  neck forms.    20 Journal of Applied Mechanics Fig.  5:  The  formation  of  shear  bands  in  a  slender  plastic  liquid  (W/H  ≥  5).  The  initial  dimensions of the plastic liquid are H = 3 mm, W = 22.75 mm, and L = 32.7 mm.  21 Journal of Applied Mechanics Fig. 6:  Zoom‐in on the surface morphology of the shear bands in an optical microscope.  The initial dimensions of the lithium grease layer are H = 6.5 mm, W = 31.2 mm and L =  23 mm.  22 Journal of Applied Mechanics Fig. 7: The formation of neck in a plastic liquid layer (W/H ≤ 5). The initial dimensions of  the lithium grease layer are H = 6.5 mm, W = 18.8 mm and L = 33 mm.  23 Journal of Applied Mechanics Fig.  8:  The  formation  of  shear  tails.    At  each  pulling  edge  of  the  grease,  a  thin  layer  of  the grease remains adherent to the elastomer.  Relative to the thin layer, a block of the  grease  slips.  (a)  A  thin  specimen  (H  =  3  mm,  W  =  22.75  mm,  L  =  32.7  mm).    (b)  A  thick  specimen  (H  =  6.5  mm,  W  =  18.8  mm,  L =  33 mm).  The  side  view  also  shows  that  the  grease/elastomer interface remains flat.    24 Journal of Applied Mechanics Fig.  9:  The  effect  of  boundary  conditions  on  localization.  (a)  In  the  reference  state,  the  grease is represented by a rectangle, with top surface perturbed into a sinusoidal shape.  (b)  Under  the  no  slip  condition,  the  deformation  does  not  localize  even  at  λ  =  2.5.  (c)  Under  the  free  slip  condition,  deformation  localizes  at  λ  =  1.6.  (d)  Under  the  frictional  slip condition, deformation also localizes at λ = 1.6.  25